מתמטריק
שאלה קצרה – סכום ריבועי המספרים הזוגיים – בגרות קיץ 2025 מועד א׳סדרות 571 · שיעור 52
קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 1 · סעיף א

שיעור 52: שאלה קצרה – סכום ריבועי המספרים הזוגיים – בגרות קיץ 2025 מועד א׳

פרק 9 – שאלות קצרות בסדרות (שאלה 1 בבגרות 571)
1נוסח השאלה
2סעיף א (1) – הוכחה באינדוקצייה
3סעיף א (2) – חישוב הסכום
📄 נוסח השאלה
א. (1) הוכיחו באינדוקצייה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל n טבעי מתקיים:
22 + 42 + 62 + … + (2n)2= 2n(n + 1)(2n + 1)3
(2) חשבו את הערך של הסכום: 42 + 62 + 82 + … + 1002.
סעיף א (1) – הוכחה באינדוקצייה
שלב 1 – בדיקה בעבור n = 1:
📐 אינדוקצייה מתמטית
22 = 4
2 · 1 · 2 · 33 = 123 = 4 ✓
שלב 2 – הנחה: נניח שהטענה נכונה בעבור n = k:
22 + 42 + … + (2k)2
= 2k(k + 1)(2k + 1)3
📐 אינדוקצייה מתמטית
1. בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. הוכחה: נכון בעבור n = k + 1
סעיף א (1) – הוכחה באינדוקצייה · המשך
= 2k(k + 1)(2k + 1)3
שלב 3 – נוכיח בעבור n = k + 1. צריך להראות:
22 + … + (2k + 2)2
= 2(k + 1)(k + 2)(2k + 3)3
נפריד את האיבר האחרון ונשתמש בהנחה:
22 + … + (2k)2 + (2k + 2)2
סעיף א (1) – הוכחה באינדוקצייה · המשך
22 + … + (2k)2 + (2k + 2)2
= 2k(k + 1)(2k + 1)3 + 4(k
+ 1)2
נוציא גורם משותף 2(k + 1)3:
= 2(k + 1)3 · [k(2k + 1)
+ 6(k + 1)]
סעיף א (1) – הוכחה באינדוקצייה · המשך
+ 6(k + 1)]
= 2(k + 1)3 · (2k2 + 7k + 6)
נפרק לגורמים: 2k2 + 7k + 6 = (k + 2)(2k + 3):
= 2(k + 1)(k + 2)(2k + 3)3 ✓
לפי עקרון האינדוקצייה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף א (2) – חישוב הסכום
האיבר האחרון 1002 = (2 · 50)2, ולכן זה הסכום בעבור n = 50 – בלי האיבר הראשון 22:
22 + … + 1002
📐 הנוסחה מסעיף א (1)
= 2 · 50 · 51 · 1013
= 5151003 = 171700
42 + … + 1002
= 171700 − 22
📐 הנוסחה מסעיף א (1)
22 + 42 + 62 + … + (2n)2
= 2n(n + 1)(2n + 1)3
סעיף א (2) – חישוב הסכום · המשך
= 171700 − 22
= 171700 − 4 = 171696
✅ פתרון סופי: 171696

📌 סיכום התשובות

א (2)
171696
ב (2)
OF = 12√27
ג (1)
f – II, f′ – III, f″ – I
ג (2)
3 נקודות פיתול
ג (3)
3
ד (1)
−1 < x < 0, x > 0
ד (2)
גרף III
ד (3)
724
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא